Zobrazení zdroje stránky Aritmeticko-geometrický průměr

'''Aritmeticko-geometrický průměr''' je speciální průměr dvou nezáporných čísel, označovaný tradičně ''M(x,y)'' nebo ''AGM(x,y)''. Lze jej vyjádřit jen pomocí vyšších [[transcendentní funkce|transcendentních funkcí]]. 

== Definice ==
Definice aritmeticko-geometrického průměru užívá obvykle vyšší transcendentní funkce, limitu posloupnosti nebo [[určitý integrál]], např.

<math>M(x,y)=\frac{\pi/2}{\int_{0}^{\infty}\tfrac{dt}{(t^2+x^2)(t^2+y^2)} }=\frac{\pi(x+y)}{4K(\tfrac{x-y}{x+y})}</math>,

kde '''''K''''' je úplný [[eliptický integrál]] 1. druhu.

== Zavedení pomocí posloupností ==
A.-g. průměr lze snadno definovat (a výhodně počítat) jako (společnou) limitu následujících posloupností, definovaných rekurentními rovnicemi 1. řádu

<math>a_{n+1}=\frac {a_n+b_n}{2}, b_{n+1}=\sqrt {a_n b_n};
a_0=x, b_0=y</math>.

== Vlastnosti ==
Hodnota a.- g. průměru leží vždy mezi hodnotou [[Aritmetický průměr|aritmetického]] a [[Geometrický průměr|geometrického průměru]]. Platí také

<math>M(x,y)=M(\tfrac{x+y}{2},\sqrt{xy})=M(A(x,y),G(x,y))</math>,

což nejlépe vyplývá z definice pomocí posloupností.

== Použití ==
Používá se k vyčíslení hodnot jiných transcendentních funkcí jako jsou eliptické integrály i např. k rychlému výpočtu číslic čísla [[Pí (číslo)|π]].

== Externí odkazy ==
* Weisstein, Eric W. "Arithmetic-Geometric Mean." URL http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-GeometricMean.html, cit. 28. 6. 2018 (anglicky).

[[Kategorie:Matematická analýza]]