Zobrazení zdroje stránky Funkce (matematika)

'''Funkce''' je v [[Matematika|matematice]] název pro [[Zobrazení (matematika)|zobrazení]] z nějaké [[Množina|množiny]] <math>M</math> do množiny{{#tag:ref|Nikoli ale užším způsobem definované zobrazení '''množiny''' do množiny, které vyžaduje využít jako definiční obor celou množinu vzorů; např. <math>y=\tan (x)</math> není zobrazení reálných čísel do reálných čísel,<ref>{{Citace monografie|příjmení=Foltínek|jméno=Tomáš|příjmení2=|jméno2=|spoluautoři=a kol.|titul=Teoretické základy informatiky (sbírka úloh do cvičení)|redaktoři=Tomáš Hála|další=Sazba Pavel Haluza|vydání=1.|vydavatel=Konvoj|místo=Brno|rok=2013|počet stran=70|strany=40,43|isbn=978-80-7302-147-4}}</ref> ale zobrazení '''z''' reálných čísel do reálných čísel ano. Není to však ani obecná binární [[Relace (matematika)|relace]] v množině čísel, neboť pro funkci je (jako pro obecnější zobrazení, neomezující se na číselné množiny vzorů a obrazů) nutná jednoznačnost obrazu. "Víceznačné" funkce nelze brát jako funkce v pravém slova smyslu, ale jedná se o rozšíření tohoto pojmu nad rámec definice.|group="pozn."}} [[číslo|čísel]] (většinou [[Reálné číslo|reálných]] nebo [[Komplexní číslo|komplexních]]), nebo do [[vektorový prostor|vektorového prostoru]] (pak se mluví o ''vektorové funkci''). Je to tedy předpis, který každému prvku z množiny <math>D \subseteq M</math> (kde <math>D</math> se nazývá definiční obor) jednoznačně přiřadí nějaké číslo nebo [[vektor]] (hodnotu funkce). Někdy se však slovo ''funkce'' používá pro libovolné [[zobrazení (matematika)|zobrazení]].

== Definice ==
=== Poněkud neformální ===
Na [[množina|množině]] [[číslo|čísel]] <math>M</math> je definovaná '''funkce''', je-li dán předpis, podle kterého je každému ''x'' náležícímu do množiny <math>D \subseteq M</math> přiřazeno právě jedno číslo ''y''.

Značíme: '''<math>y=f(x)</math>'''.

[[Proměnná]] <math>x</math> se označuje jako '''argument funkce''' ('''nezávisle proměnná'''). Proměnná <math>y</math> je '''funkční hodnota''' ('''závisle proměnná''').

[[Množina|Množinu]] <math>D</math>, na které je funkce definovaná, nazýváme [[definiční obor|(definičním) oborem]] (nebo také doménou) funkce. Pokud není při zadání funkce uveden definiční obor, pak se za definiční obor obvykle považuje množina všech hodnot nezávisle proměnné, pro něž má funkce smysl. Definičním oborem může být například množina [[celé číslo|celých]], [[reálné číslo|reálných]] nebo [[komplexní číslo|komplexních čísel]]. Definiční obor může mít i více [[Dimenze vektorového prostoru|dimenzí]]. Pokud má dvě, pak můžeme říkat, že má [[funkce]] dva [[argument]]y, nebo že jejím argumentem je jeden dvourozměrný [[vektor]]. Jedná se o dva pohledy na stejnou věc. V případě, že má [[vektor]], který je argumentem funkce, nekonečnou [[Dimenze vektorového prostoru|dimenzi]] (většinou [[nespočetná množina|nespočetnou]]), nemluvíme již o [[funkce|funkci]], ale o [[funkcionál]]u.

Množinu všech čísel <math>\ f(x)</math>, takových, že <math>x \in\ D</math>, nazýváme [[obor hodnot|oborem hodnot]] (kooborem) dané funkce.

=== Matematicky přesnější ===
'''Funkcí''' rozumíme zobrazení <math>f</math> z libovolné množiny <math>M</math> do číselné množiny <math>T</math>. Funkce <math>f</math> je binární relací <math>[f;M,T]</math>, kde platí, že každému prvku <math>x \in\ M</math> je přiřazeno nejvýše jedno číslo <math>y \in\ T</math>, že <math>[x,y]\in f</math> (jestliže <math>[x_1,y_1],[x_2,y_2]\in f</math> a <math>x_1=x_2</math>, pak <math>y_1=y_2</math>). Místo <math>[x,y]\in f</math> často píšeme <math>y=f(x)</math>, kde <math>y</math> nazýváme funkční hodnotou funkce <math>f</math>.<ref>{{Citace monografie
| příjmení = Bartsch
| jméno = Hans-Jochen
| příjmení2 = 
| jméno2 = 
| titul = Matematické vzorce
| vydání = 4
| vydavatel = Academia
| místo = Praha
| rok = 1994
| počet stran = 832
| strany = 87
| isbn = 80-200-1448-9
}}</ref>

'''Definičním oborem''' funkce je pak podmnožina <math>D</math> všech prvků množiny <math>M</math>, ke kterým taková uspořádaná dvojice existuje právě jedna. Říkáme, že pro prvky množiny <math>M</math>, které nejsou prvky definičního oboru, daná funkce '''není definována'''.

'''Oborem hodnot''' dané funkce je množina všech prvků ''y'' množiny ''T'', ke kterým v relaci existuje alespoň jedna uspořádaná dvojice <math>[x,y]\in f</math>, kde <math>x \in D</math>.

== Způsoby zadání funkce ==
=== Analyticky ===
Analytickým předpisem rozumíme zadání funkce ve formě <math>y = f(x)</math>, pak říkáme, že funkce je zadána ''explicitním vyjádřením'' ('''explicitní funkce'''). Funkci můžeme vyjádřit také v ''implicitním tvaru'' ('''implicitní funkce''') jako <math>F(x,y) = 0</math>. Dalším způsobem je zápis v ''parametrickém tvaru'' ('''parametrická funkce''') [[soustava rovnic|soustavou rovnic]] <math>x = f_1(t)</math>, <math>y = f_2(t)</math>, kde <math>t</math> je vhodný parametr.
==== Příklad ====
Např. <math>y = 2x^2</math> je explicitní zápis [[kvadratická funkce|kvadratické funkce]]. V implicitním tvaru lze stejnou rovnici zapsat jako <math>y - 2x^2 = 0</math>. V parametrickém tvaru lze zvolit např. soustavu rovnic <math>x = \frac{t}{\sqrt{2}}</math>, <math>y = t^2</math>.

=== Graficky ===
Při grafickém zadání funkci vyjádříme [[graf (funkce)|grafem]].
==== Příklad ====
Příklad zadání funkce grafem (<math>D(x)</math> označuje definiční obor a <math>V(y)</math> obor hodnot)
[[Soubor:Zadani funkce grafem.svg|střed|Zadání funkce grafem.]]

=== Tabulkou (výčtem hodnot) ===
Funkční předpis může být zadán také výčtem hodnot, který obvykle uspořádáme do tabulky.
==== Příklad ====
Příkladem může být např. zadání funkce
{| class="wikitable"
| <math>x</math> || 1 || 2 || 3 || 7 || 9
|-
| <math>y</math> || 2 || 4 || 5 || 3 || 3
|}

Definičním oborem je zde množina <math>\{1,2,3,7,9\}</math> a oborem hodnot je množina <math>\{2,3,4,5\} </math>.

== Typy funkcí ==
Je-li nezávisle proměnná z množiny [[reálné číslo|reálných čísel]], pak hovoříme o ''funkci reálné proměnné'', pokud je nezávisle proměnná z množiny [[komplexní číslo|komplexních čísel]], hovoříme o ''funkci komplexní proměnné''. Pokud je závislá proměnná z množiny reálných čísel, pak se jedná o ''reálnou funkci'', je-li z množiny komplexních čísel, jde o ''[[komplexní funkce|komplexní funkci]]''. Např. komplexní funkce reálné proměnné přiřazuje každému reálnému číslu (z definičního oboru) komplexní číslo.

Argumentem funkce nemusí být jen [[číslo|čísla]], ale mohou jím být také [[matice]], [[vektor]]y, [[tenzor]]y, apod. Pak podle typu argumentu hovoříme o [[maticová funkce|maticové funkci]], [[vektorová funkce|vektorové funkci]], [[tenzorová funkce|tenzorové funkci]], apod.

O funkci obsahující jedinou nezávisle proměnnou hovoříme jako o ''funkci jedné proměnné'', např. <math>y = f(x)</math>. Funkce obsahující dvě (nebo více) nezávislých proměnných pak označujeme jako ''funkci dvou (tří, čtyř, …) proměnných'', např. <math>z = f(x,y)</math> je funkce dvou proměnných <math>x</math> a <math>y</math>. Funkci <math>n</math>-proměnných zapisujeme jako
* <math>f(x_1,x_2,..., x_n)</math>
* <math>f(x_i)</math> pro <math>i=1,2,...,n</math>
* <math>f(X)</math>, kde <math>X = [x_1,x_2,...,x_n]</math> představuje [[bod]] v n-rozměrném [[vektorový prostor|prostoru]]
* <math>f(r)</math>, kde <math>r</math> představuje [[polohový vektor]] bodu v n-rozměrném prostoru.

=== Algebraická a transcendentní funkce ===
Funkci je ''algebraická'', pokud ji lze vyjádřit ve tvaru [[polynom]]u, například pokud lze funkci <math>y = f(x)</math> vyjádřit jako <math>P(x,y) = 0</math>, kde <math>P</math> je polynom, pak se jedná o algebraickou funkci. [[Polynom#Stupeň polynomu|Stupeň polynomu]] <math>P</math> pak určuje stupeň funkce. Funkce, které nejsou algebraické, se označují jako ''transcendentní''. Mezi transcendentní funkce se řadí funkce [[sinus]], [[kosinus]], [[tangens]], [[kotangens]], [[exponenciální funkce|exponenciální]], [[logaritmická funkce|logaritmické]], případně další, které není možné vyjádřit pomocí elementárních funkcí.

Algebraické funkce lze dále rozdělit na ''[[racionální funkce]]'' a ''[[iracionální funkce]]''. Iracionální funkce jsou funkce obsahující <math>x^{\frac{m}{n}}</math>, kde <math>m, n</math> jsou [[nesoudělná čísla]].

Transcendentní funkce lze rozdělit na ''nižší'', kam patří například exponenciální, logaritmické, [[goniometrická funkce|goniometrické]] a [[cyklometrické funkce]], a ''vyšší,'' například [[chybová funkce]] n. [[Eliptický integrál|eliptické integrály]]. Vyšší transcendentní funkce nelze pomocí [[elementární funkce|elementárních funkcí]] vyjádřit v konečném tvaru.{{Fakt/dne|20101102103757}}

=== Rekurzivní funkce ===
Zvláštním případem zadání funkce je tzv. [[rekurzivní funkce (matematika)|rekurzivní funkce]]. Zadání funkce rekurentně je zadání předpisu, který dává do vztahu nějaké hodnoty funkce s jinými hodnotami takovým způsobem, že funkce je dobře definována.

Příkladem takové funkce může být např. funkce definovaná na přirozených číslech, kterou definujeme vztahy <math>f(0) = 1</math> a <math>f(n) = n \cdot f(n-1)</math> pro <math>n = 1,2,...</math>. Uvedenou funkci lze také zapsat jako <math>f(n) = n!</math>, tzn. tato funkce počítá [[faktoriál]].

Celý proces výpočtu rekurzivní funkce je označován jako [[rekurze]] a našel uplatnění především ve [[výpočetní technika|výpočetní technice]].

== Operace s funkcemi ==
Mějme funkci <math>f(x)</math> s [[definiční obor|definičním oborem]] <math>D_f(x)</math> a funkci <math>g(x)</math> s definičním oborem <math>D_g(x)</math>. Společný definiční obor obou funkcí je [[průnik]]em obou definičních oborů, tzn. <math>D = D_f \cap D_g</math>.

Funkce <math>f, g</math> jsou si na <math>D</math> rovny, pokud platí <math>f(x) = g(x)</math> pro všechna <math>x \in D</math>.

''[[Sčítání|Součtem]] funkcí'' <math>f, g</math> na <math>D</math> označíme funkci <math>h</math> takovou, že <math>h(x) = f(x) + g(x)</math> pro všechna <math>x \in D</math>.

''[[Násobení|Součinem]] funkcí'' <math>f, g</math> na <math>D</math> označíme funkci <math>h</math> takovou, že <math>h(x) = f(x) \cdot g(x)</math> pro všechna <math>x \in D</math>.

''[[Dělení|Podílem]] funkcí'' <math>f, g</math> na <math>D^\prime</math> označíme funkci <math>h</math> takovou, že <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> pro všechna <math>x \in D^\prime</math>, kde <math>D^\prime</math> je definiční obor <math>D</math>, z něhož byla vyňata všechna <math>x</math>, pro která platí <math>g(x) = 0</math>.

== Poznámky ==
<references group="pozn." />

== Související články ==
* [[Meromorfní funkce]]
* [[Obraz funkce]]
* [[Vzor funkce]]
* [[Průběh funkce]]
* [[Inverzní zobrazení|Inverzní funkce]]
* [[Sudé a liché funkce]]
* [[Periodická funkce]]
* [[Skládání funkcí]]
* [[Komplexní funkce]]
* [[Prostá funkce]]
* [[Spojitá funkce]]
* [[Monotónní funkce]]
* [[Ackermannova funkce]]
* [[Dirichletova funkce]]
* [[Mathieuova funkce]]

== Externí odkazy ==
* [http://functions.wolfram.com/ functions.wolfram.com] – online encyklopedie vzorců a grafických ztvárnění funkcí

{{Portály|Matematika}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Matematické funkce| ]]