Zobrazení zdroje stránky Involuce (matematika)

'''Involuce''' je v [[matematika|matematice]] taková [[funkce (matematika)|funkce]], která je sama sobě [[inverzní zobrazení|inverzním zobrazením]]. Tedy taková funkce <math>f</math>, která pro všechna <math>x</math> ze svého [[definiční obor|definičního oboru]] splňuje <math>f(f(x))=x</math>. Tato vlastnost zobrazení se nazývá involutornost.

== Vlastnosti ==
Každá involuce je nutně [[Bijekce|vzájemně jednoznačné zobrazení]], jedná se tedy o [[permutace|permutaci]] dané množiny.

Počet možných involucí na [[konečná množina|konečné množině]] závisí na její [[mohutnost množiny|mohutnosti]] a [[Heinrich August Rothe]] odhalil v roce 1800 [[rekurentní vztah]], který udává počet možných involucí ''n''prvkové množiny:
:<math>a_0=a_1=1</math>
:<math>a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}</math> pro <math>n > 1</math>
Pro <math>n=0,1,\dots,</math> jsou počáteční hodnoty této posloupnosti 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232. V rámci [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|encyklopedie celočíselných posloupností]] má tato posloupnost označení A000085.<ref>[[oeis:A000085]]</ref>

== Příklady ==
Řada jednoduchých a důležitých příkladů involucí je v [[geometrie|geometrii]], jedná se například o [[osová souměrnost|osovou souměrnost]] nebo [[Středová souměrnost|středovou souměrnost]]. Obecně involutorní shodnost ve vícerozměrných [[eukleidovský prostor|eukleidovských prostorech]] je [[souměrnost]] podle [[podprostoru]]. Involucí je také [[kruhová inverze]].

V [[aritmetika|aritmetice]] (respektive obecněji v [[algebra|algebře]]) je involucí zobrazení na [[inverzní prvek]], tedy v případě [[sčítání]] zobrazení přiřazující číslu [[opačné číslo]], v případě [[násobení]] (ovšemže pouze pro [[invertibilní prvek|invertibilní prvky]])  [[převrácená hodnota]].

Pro komplexní čísla je příkladem involuce operace [[Komplexně sdružené číslo|(komplexního) sdružení]].

Pro množiny [[matice|matic]] je involuce [[transpozice matic]].

Jednoduchými příklady z informatiky jsou „šifra“ [[ROT13]] a [[bitová operace]] [[exkluzivní disjunkce]] s konstantou.

== Reference ==
<references/>

[[Kategorie:Abstraktní algebra]]
[[Kategorie:Matematické funkce]]