Zobrazení zdroje stránky Lippmannova–Schwingerova rovnice

'''Lippmannova-Schwingerova rovnice''' je [[Kvantová mechanika|kvantově mechanická]] [[rovnice]] hojně užívaná v [[Teorie rozptylu|teorii rozptylu]]. Jedná se o [[Integrální rovnice#Integrodiferenciální rovnice|integrální rovnici]], která je často řešena [[Iterace|iterační]] metodou což vede na [[Bornova řada|Bornovu řadu]].

V případě jednokanálového rozptylu má nezávisle na reprezentaci Lippmann-Swingerova rovnice tvar

<math>|\psi_{\rm{p}}^{\pm} \rangle= |\rm{p}\rangle + \hat{G}_0^{\pm} (E) \hat{H}_I |\psi_{\rm{p}}^{\pm} \rangle</math>,

kde <math>|\psi_{\rm{p}}^{\pm} \rangle</math> označuje retardované a advancované řešení rovnice, <math>\hat{H}_I</math> interační [[hamiltonián]] a <math>\hat{G}_0^{\pm} (E)</math> retardovaný, resp. avansovaný, [[Greenův operátor]] bezčasové [[Schrödingerova rovnice|Schrödingerovy rovnice]] pro volnou částici. Můžeme jej vyjádřit takto

<math>\hat{G}_0^{\pm} (E) = \frac{1}{E-\hat{H}_0 \pm i\varepsilon}</math>.

Řešení Lippmann-Swingerovy rovnice vyhovují nečasové (stacionární) Schrödingerově rovnici, tedy platí:

<math>\hat{H} |\psi_{\rm{p}}^{\pm} \rangle = E|\psi^{\pm} \rangle</math>

Platí dokonce normovací podmínka

<math>\langle \psi_{\rm{p}}^{\pm}| \psi_{\rm{p'}}^{\pm} \rangle = \delta (\rm{p}-\rm{p'})</math>.

Přitom pro celkový [[hamiltonián]] <math>H</math> platí

<math>\hat{H}=\hat{H}_0 + \hat{H}_I</math>,

kde <math>H_0</math> je hamiltonián volné částice, tedy [[Teorie relativity|nerelativisticky]]

<math>\hat{H}_0= \frac{\hat{\rm{p}}^2}{2m}</math>.

Platí také <math>E=\frac{p^2}{2m}</math>, protože se [[energie]] částice zachovává a dlouho před rozptylem odpovídá energii volné částice.

Poznamenejme, že retardované řešení popisuje rozptylující se částici, která na rozptylové centrum nalétává jako rovinná vlna 
<math>|\rm{p}\rangle</math> a advancované naopak řešení s převráceným během času, jako rovinná vlna vylétá.

V třírozměrném prostoru je [[Greenův operátor]] <math>\hat{G}_0^{\pm} (E)</math> v x-reprezentaci dán výrazem

<math>G_0^{\pm} (E)(\rm{x},\rm{x'})=\langle \rm{x}|\hat{G}_0^{\pm} (E)|\rm{x'}\rangle =-\frac{2m}{\hbar^2}\frac{1}{4\pi} \frac{\exp(\pm ik|\rm{x}-\rm{x'}|)}{|\rm{x}-\rm{x'}|}</math>

Lippmann-Schwingerova rovnice má pak v x-reprezentaci tvar

<math>\psi_{\rm{p}}^+ (\rm{x}) = \frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{3}{2}}} e^{i \rm{p} \cdot \rm{x}} - \frac{2m}{\hbar^2}\frac{1}{4\pi} \int d^3 x' \frac{\exp(ik|\rm{x}-\rm{x'}|)}{|\rm{x}-\rm{x'}|} V(\rm{x'}) \psi_{\rm{p}}^+ (\rm{x'})</math>,

kde

<math>\psi_{\rm{p}}^+ (\rm{x}) =\langle \rm{x}|\psi_{\rm{p}}^+ \rangle</math>

a

<math>\rm{k}=\frac{1}{\hbar}\rm{p}</math>.

Z vyjádření v x-reprezentaci je zřejmé, že jde v tomto případě o integrální rovnici.

==Metody řešení==
Z matematického pohledu je Lippmannova-Schwingerova v souřadnicové reprezentaci [[integrální rovnice|integrální rovnicí]] Fredholmova typu. Lze ji řešit pomocí diskretizace integrálu, což ji převede na [[soustava lineárních rovnic|soustavu lineárních rovnic]]. 
Další možností je využít ekvivalence Lippman-Schwingerovy rovnice se [[Schrödingerova rovnice|Schrödingerovou rovnicí]] a řešit místo integrální tuto diferenciální rovnici se správnou okrajovou podnínkou. V případě sféricky symetrického potenciálu <math>V</math> se rovnice většinou řeší [[metoda parciálních vln|metodou parciálních vln]]. Pro vysoké srážkové energie nebo slabé potenciály lze rovnici řešit poruchovým rozvojem ([[Bornova řada]]). Zobecnění Lippman Schwingerovy rovnice pro mnohočásticové srážky, například v jaderné či molekulové fyzice se obvykle řeší pomocí metody [[R-matice]] navržené [[Eugene Paul Wigner|Wignerem]] a Eisenbudem. Další třída metod vychází ze separabilního rozkladu potenciálu nebo Greenova operátoru jako je [[metoda řetězových zlomků]] [[Jiří Horáček (fyzik)|Horáčka]] a Sasakawy. Důležitá třída metod je založena na variačních principech, například ze [[Schwingerův variační princip|Schwingerova variačního principu]] vychází [[Schwinger-Lanczosova metoda]], která kombinuje variační princip [[Julian Schwinger|Juliana Schwingera]] a [[Lanczosův algoritmus]].

[[Kategorie:Kvantová fyzika]]