Zobrazení zdroje stránky Paradox dvou obálek

[[File:Envelop.jpg|thumb|Paradox dvou obálek]]
'''Paradox dvou obálek''' je problém považovaný za hádanku, [[Logika|logickou]] hříčku, [[Filosofie|filozofický]] problém, problém z oblasti [[Pravděpodobnost|pravděpodobnosti]], teorie optimálního rozhodování, či [[Rekreační matematika|rekreační matematiky]].

V současné době je napsáno několik článků týkajících se tohoto problému ročně.

==Zadání problému==

Jsou dvě navzájem nerozlišitelné obálky, v každé z nich je kladná suma peněz a to tak, že v jedné obálce je dvojnásobné množství peněz, než ve druhé. Můžete si vybrat libovolnou z obálek a ponechat si sumu, kterou daná obálka obsahuje. Náhodně si tedy jednu z obálek vyberete, ale předtím, než obálku otevřete, dostanete možnost vyměnit ji za druhou obálku.

'''Argument proč obálky vyměnit''':

# Částku ve vybrané obálce označíme ''A''.
# Pravděpodobnost, že ''A'' je menší z částek v obálkách je 1/2, a pravděpodobnost, že ''A'' je větší z částek v obálkách je také 1/2.
# Druhá z obálek může obsahovat buď částku ''A''/2, nebo částku 2''A''.
# Jestliže ''A'' je menší z částek v obálkách, pak druhá z obálek obsahuje částku 2''A''.
# Jestliže ''A'' je větší z částek v obálkách, pak druhá z obálek obsahuje částku ''A''/2.
# Tedy, druhá z obálek obsahuje částku 2''A'' s pravděpodobností 1/2 a částku ''A''/2 s pravděpodobností 1/2.
# Takže, [[střední hodnota]] částky ve druhé obálce je <br> <br><math>{1 \over 2} (2A) + {1 \over 2} ({A \over 2}) = {5 \over 4}A</math><br> <br>
# Toto je větší, než ''A'', v průměru se tedy dá na výměně obálek vydělat.
# Po výměně obálek označíme obsah druhé obálky ''B'' a pokračujeme v úvahách stejným způsobem, jako nahoře.
# Závěr je, že nejracionálnější je znovu obálky vyměnit.
# Z důvodu racionality tedy nemůžeme s vyměňováním obálek přestat.
# Protože vypadá být mnohem racionálnější vzít si obsah libovolné obálky, než bez přestání obálky vyměňovat, máme zde protimluv (paradox).

Problém spočívá v tom, najít ve výše uvedené argumentaci chybu.

==Historie problému==
Historie obálkového paradoxu se datuje nejméně do roku 1953, kdy [[Belgie|belgický]] matematik [[Maurice Kraitchik]] publikoval ve své knize ''Rekreační matematika'' hádanku týkající se dvou stejně bohatých mužů, kteří se potkají a porovnávají své nádherné kravaty, dárky od svých manželek, dohadující se, která z nich stála více peněz. Je také zmíněn v knize o elementární matematice a matematických hádankách z roku 1953, kterou napsal matematik John Edensor Littlewood, jenž ji připsal fyzikovi [[Erwin Schroedinger|Erwinu Schroedingerovi]]. [[Martin Gardner]] popularizoval Kraitchikovu hádanku ve své knize ''Aha! Gotcha'' z roku 1982, a to ve formě peněženkové hry:

:Dva lidé, stejně bohatí, se potkají a sázejí se o obsah svých peněženek. Žádnému z nich není znám obsah peněženky toho druhého. Sázka spočívá v tom, že kdo má ve své peněžence méně peněz, obdrží také obsah peněženky toho druhého (v případě, že mají oba stejně, nestane se nic). Jeden z mužů může usuzovat: "Mám ve své peněžence částku ''A''. To je maximum, co můžu ztratit. Jestliže vyhraji (pravděpodobnost 1/2), pak částka, kterou budu mít celkem bude větší, než 2''A''. Z tohoto důvodu je pro mě tato hra výhodná." Druhý člověk může usuzovat přesně stejným způsobem. Ve skutečnosti, kvůli symetrii, je hra spravedlivá. Kde je chyba v úvaze každého z nich?

V roce 1989 [[Barry Nalebuff]] uvedl současnou verzi paradoxu dvou obálek, spolu s výpočtem střední hodnoty 5''A''/4. [[Martin Gardner]] nezávisle zmínil tuto verzi ve své knize ''Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers and the Return of Dr Matrix'' z roku 1989. Od té doby byl problém uváděn nejčastěji ve formě paradoxu dvou obálek.

Ve současné podobě (zřejmě kvůli zvýšení atraktivity) body 8 až 12 výše zcela nepokrytě poukazují také na [[Buridanův osel|Paradox Buridanova osla]].

==Logická varianta problému==
Logik [[Raymond Smullyan]] položil otázku, zda je skutečně paradox závislý na pravděpodobnostech.<ref>Raymond Smullyan: Šeherezádiny hádanky a další podivuhodné úlohy, Portál, Praha, 2004</ref> Přeformuloval proto problém tak, aby neobsahoval zmínku o pravděpodobnosti. Následující logické argumenty vedou k vzájemně si odporujícím závěrům:

#Částku v obálce vybrané hráčem označme ''A''. Výměnou obálek může hráč získat ''A'', nebo ztratit ''A''/2. Takže možný zisk je větší, než možná ztráta.
#Částky v obálkách označme ''Y'' a 2''Y''. Při výměně obálek může hráč získat ''Y'' nebo ztratit ''Y''. Takže možný zisk je roven možné ztrátě.
#Částku v obálce, kterou si hráč ''nevybral'' označme ''B''. Výměnou obálek může hráč získat ''B''/2, nebo ztratit ''B''. Takže možný zisk je menší, než možná ztráta.

(Smullyan ve skutečnosti uvedl jen argumenty 1 a 2; argument 3 byl přidán později Jamesem Chasem, jenž byl první, kdo publikoval řešení logické varianty.)

==Literatura==

<references />

==Externí odkazy==
*Pavel Houser: [http://scienceworld.cz/psychologie/perlicka-obalkovy-paradox-1717 Perlička: Obálkový paradox]. ''ScienceWorld'', 21. října 2011

[[Kategorie:Pravděpodobnost]]
[[Kategorie:Paradoxy]]