Zobrazení zdroje stránky Pozitivně definitní matice

'''Pozitivně definitní matice''' je taková [[čtvercová matice]], pro kterou platí 

:<math>\mathbf x \neq 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \mathbf x^T \mathbf M \mathbf x > 0</math>

(v oboru [[Reálné číslo|reálných čísel]]), respektive

:<math>\mathbf z \neq 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \mathbf z^H \mathbf M \mathbf z > 0, \qquad\text{kde}\qquad {\mathbf z}^H=\bar{\mathbf z}^T</math>

(v oboru [[Komplexní čísla|komplexních čísel]]). Pozitivně definitní matice má vždy kladná [[vlastní čísla]]. Každá [[Symetrická matice|symetrická]] (respektive [[Hermitovská  matice|hermitovská]]) matice, jejíž vlastní čísla jsou kladná, je pozitivně definitní. 

<!--TOTO SEM NEPATRI, SPD MATICE SE POUZIVAJI LEDASKDE ... Symetrická pozitivně definitní matice se používá mimo jiné v [[matematická analýza|matematické analýze]] k určování extrémů [[funkce|funkcí]] více proměnných.-->

== Hlavní věta o symetrických pozitivně definitních maticích ==

Nechť <math>\mathbf M</math> je [[Symetrická matice|symetrická]] (případně [[Hermitovská matice|hermitovská]]) matice. Pak následujících 10 tvrzení je ekvivalentních:

* Matice <math>\mathbf M</math> je pozitivně definitní.
* Všechna [[Vlastní číslo|vlastní čísla]] všech [[Hlavní podmatice|hlavních podmatic]] jsou kladná.
* Všechny hlavní [[Subdeterminant|minory]] matice <math>\mathbf M</math> jsou kladné.
* <math>\det(M_k) > 0</math> pro  <math>k=1,\ldots,n</math>, kde
: <math>M_1=m_{1,1},\quad M_2=\left[\begin{array}{cc}m_{1,1}&m_{1,2}\\m_{2,1}&m_{2,2}\end{array}\right],\quad M_3=\left[\begin{array}{ccc}m_{1,1}&m_{1,2}&m_{1,3}\\m_{2,1}&m_{2,2}&m_{2,3}\\m_{3,1}&m_{3,2}&m_{3,3}\end{array}\right],\quad\ldots;</math>
tzv. '''Jacobiho podmínka''', či '''[[Sylvestrovo kritérium]]'''.
* Existuje dolní trojúhelníková matice <math>\mathbf L</math> tak, že <math>\mathbf M=\mathbf L\mathbf L^T</math>; viz [[Choleského rozklad]].
* Existuje [[Regulární matice|regulární]] matice <math>\mathbf C</math> tak, že <math>\mathbf M = \mathbf C\mathbf C^T</math>.
* Existuje [[Symetrická matice|symetrická]] (případně [[Hermitovská matice|hermitovská]]) [[Regulární matice|regulární]] matice <math>\mathbf F</math> tak, že <math> \mathbf M = \mathbf F \mathbf F = \mathbf F^2</math>; přičemž obvykle se značí <math>\mathbf F = \sqrt{\mathbf{M}} = \mathbf{M}^{1/2}</math>, viz [[Maticová funkce|maticové funkce]].
* Součty všech hlavních [[Subdeterminant|minorů]] k-tého stupně jsou  kladné pro <math>k=1,\ldots,n</math>.
* Všechna vlastní čísla matice <math>\mathbf M</math> jsou kladná.
* Existuje [[Ortogonální matice|ortogonální]] (případně [[Unitární matice|unitární]]) matice <math>\mathbf U</math> a [[diagonální matice]] <math>\mathbf D</math> s kladnými prvky na diagonále tak, že <math>\mathbf M = \mathbf U \mathbf D \mathbf U^T</math>; viz [[Jordanův normální tvar|Jordanův rozklad]] (resp. Jordanův kanonický tvar) a [[Schurův rozklad]]. 

Důkaz ekvivalence viz např. <ref>Miroslav Fiedler, ''Speciální  matice  a jejich použití v numerické matematice'', TKI SNTL 1981.</ref>

Věta dává k dispozici mnoho způsobů jak testovat pozitivní definitnost. V základním kurzu lineární algebry, při práci s malými maticemi (<math>n=1,2,3</math>) se nejčastěji setkáme s klasickou Jacobiho podmínkou (Sylvestrovým kritériem). V praxi použitelné (<math>n= 10^6,10^9,\ldots</math>) však nejsou žádné postupy založené na výpočtu determinantů (minorů) nebo vlastních čísel matice (podmatic). Jediný prakticky upotřebitelný postup je [[Choleského rozklad]].

== Praktické určení pozitivní definitnosti ==
Ve výpočetní praxi je často potřeba určit, zda je daná symetrická matice pozitivně definitní efektivním, tedy zejména numericky  stabilním a časově nenáročným způsobem. Jako nejvhodnější nástroj se pro tento účel jeví [[Choleského rozklad]] (délka výpočtu je úměrná <math>n^3</math> a algoritmus je [[Zpětná stabilita|bezpodmínečně zpětně stabilní]]). Pokud matice není pozitivně definitní, pak dojde v průběhu výpočtu k dělení nulou nebo výpočtu odmocniny ze záporného čísla. Pokud matice pozitivně definitní je, proběhne výpočet Choleského faktoru aniž by tyto situace nastaly. 

Tento test lze provést i pro matici obecně hermitovskou. Protože je při výpočtu s takovou maticí nezbytné použít aritmetiku komplexních čísel, je nezbytné speciálně ošetřit situaci výpočtu odmocniny ze záporného čísla. Pokus o výpočet takové odmocniny v komplexní aritmetice obecně neskončí chybovým hlášením programu. I v hermitovském (obecně komplexním případě) platí, že je-li matice pozitivně definitní, nedojde v průběhu výpočtu k dělení nulou nebo výpočtu odmocniny ze záporného čísla.

== Podobné definice ==
Analogicky jsou definovány '''negativně definitní matice''' (s obrácenou nerovností) a '''pozitivně''' a '''negativně semidefinitní matice''' (s neostrými nerovnostmi). '''Indefinitní matice''' je definována vztahem
:<math>\exists\,\mathbf x\neq 0,\; \mathbf y\neq0 </math> &nbsp; &nbsp; tak, že &nbsp; &nbsp; <math>\mathbf x^T \mathbf M \mathbf x > 0 > \mathbf y^T \mathbf M \mathbf y.</math>

== Související články ==
* [[Choleského rozklad]]
* [[Determinant]]
* [[Hermitovská matice]]

== Reference ==
<references/>

== Literatura ==

* [[Miroslav Fiedler]], ''Speciální matice a jejich použití v numerické matematice'', TKI, SNTL, 1981.
* Rajendra Bhatia, ''Positive Definite Matrices'', Princeton in Applied Mathematics, Princeton University Press, 2006.


[[Kategorie:Lineární algebra]]

[[de:Definitheit#Definitheit von Matrizen]]