Zobrazení zdroje stránky Z-transformace

'''Z-transformace''' je název několika [[matematika|matematických]] [[transformace|transformací]].

== Funkce komplexní proměnné ==
'''Z-[[transformace]] (jednostranná, unilaterální)''' posloupnosti <math>x(k)</math> je definována

:<math>
X(z)=\sum_{k=0}^{\infty} x(k)z^{-k}
</math>,

kde <math>z</math> je [[Komplexní číslo|komplexní]] proměnná. Množina hodnot <math>z</math>, pro něž sumace [[konvergence|konverguje]], se nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže sumace konverguje pro danou posloupnost v bodě <math>z_0</math>, pak konverguje v každém bodě <math>z</math>, pro který platí <math>\left|z\right|>\left|z_0\right|</math>. Oblast konvergence Z-transformace je tedy <math>\left|z\right|>R</math>, kde <math>R</math> je dáno chováním posloupnosti <math>x(k)</math> pro <math>k\to\infty</math> .

'''Inverzní Z-transformace''' je dána vztahem:

:<math>
x(k)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} X(z)z^{k-1}\, \mathrm{d}z
</math>

kde <math>C</math> je jednoduchá uzavřená a kladně orientovaná křivka ležící v oblasti konvergence a obklopující počátek.

S použitím Z-transformace se setkáme hlavně při řešení [[diferenční rovnice|diferenčních rovnic]], při hledání vlastností a realizaci systémů pracujících v diskrétním čase (např. [[digitální signální procesor]]).

== Statistika ==
=== Fisherova z-transformace ===
{{Vyjmout|Fisherova z-transformace}}
Je-li ''r'' výběrový [[koeficient korelace]] mezi dvěma náhodnými vektory ''X'' a ''Y'', má Fisherova Z-transformace tvar

:<math>
Z=\frac{1}{2}\ln\frac{1+r}{1-r}
</math>.

Pokud oba náhodné vektory ''X'' i ''Y'' pocházejí z [[normální rozdělení|normálního rozdělení]], má takto vzniklá [[náhodná veličina]] Z přibližně [[normální rozdělení]].

=== Transformace na z-skóry ===
{{Vyjmout|Transformace na z-skóry}}
Jako z-transformace se ve [[statistika|statistice]] také označuje [[lineární transformace]] souboru hodnot [[kvantitativní]]ho (číselného) znaku. Jejím cílem je dosáhnout u transformovaného znaku [[průměr]]u rovného nule a [[směrodatná odchylka|směrodatné odchylky]] rovné jedné. Hodnoty po transformaci se pak označují jako [[z-skór]]y.

Je-li [[průměr]] souboru hodnot roven μ a [[směrodatná odchylka]] rovna σ, má z-transformace tvar

:<math>
y=\frac{x-\mu}{\sigma}
</math>,

kde ''x'' jsou původní hodnoty a ''y'' transformované hodnoty.
 
== Související články ==
* [[Fourierova transformace]]
* [[Laplaceova transformace]]

== Externí odkazy ==
* [http://matlab.fei.tuke.sk/raui/doc/z_transf_M_w.pdf Učební text Liberecké univerzity]
* [https://web.archive.org/web/20121102120136/http://hpc.vsb.cz/studium/integralni_transformace/z_transformace/uvod6.html#6 Učební text VŠB]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Fisher_transformation Fisherova Z-transformace na Anglické Wikipedii]

{{Pahýl}}

[[Kategorie:Matematická analýza]]
[[Kategorie:Diskrétní transformace]]