Zobrazení zdroje stránky Zlatý řez

{{Upravit}}
[[Soubor:Rechteck_GoldenerSchnitt.gif|náhled|Zlatý obdélník]]
Jako '''zlatý řez''' ([[latina|latinsky]] ''sectio aurea'') se označuje [[poměr]] o hodnotě přibližně 1,618. V [[umění]] a [[fotografie|fotografii]] je pokládán za ideální proporci mezi různými délkami. Zlatý řez vznikne rozdělením [[úsečka|úsečky]] na dvě části tak, že poměr větší části k menší je stejný jako poměr celé úsečky k větší části. Hodnota tohoto poměru je rovna [[iracionální číslo|iracionálnímu číslu]]
:<math>\varphi = {1+\sqrt5 \over 2} \approx 1{,}618\ 033\ 988\ 749\ 894\ 848\,\ldots</math>

Již nejméně od [[renesance (historická epocha)|renesance]] využívají zlatý řez umělci ve svých dílech, zejména ve formě tzv. ''zlatého obdélníku'', ve kterém se zlatý řez vyskytuje jako poměr stran. Zlatý řez prý totiž působí [[estetika|esteticky]] příznivým dojmem; poměr zlatého řezu lze také pozorovat v přírodě.<ref>Ing. arch. Dušan Řezáč: [http://www.archiweb.cz/news.php?action=show&type=17&id=4108 ''Le Corbusier – MODULOR''], archiweb.cz, 2007-09-26. Navštíveno 2008-03-24.</ref>

Značení písmenem [[Fí|φ]] začal na počátku [[20. století]] používat [[Mark Barr]], přičemž je zvolil na počest [[Starověké Řecko|řeckého]] sochaře [[Feidiás|Feidia]] (cca [[490 př. n. l.|490]]–[[430 př. n. l.]]), který podle historiků ve svých dílech zlatý řez hojně využíval. Občas se používá také označení <math>\tau</math> z řeckého ''tome'' = ''řez''.

{{Citát|Geometrie má dva poklady: Pythagorovu větu a zlatý řez. První má cenu zlata, druhý připomíná spíše drahocenný kámen.|[[Johannes Kepler]]}}

== Zlatý řez v přírodě ==
{{podrobně|logaritmická spirála}}<!--možná tam tuto kapitolu přesunout...-->
Zlatý řez se vyskytuje v přírodě ve formě [[Fibonacciho posloupnost]]i. [[List]]y rostlin, pokud vyrůstají jednotlivě, jsou na větvičkách rozloženy tak, že každý list vyrůstá nad předchozím listem více či méně posunut o určitý [[úhel]]. V dolní části stonku jsou listy starší a větší, u vrcholu mladší a menší. Všechny listy jsou stejnoměrně osvětlovány [[Slunce]]m, menší nestíní větším, které mají delší řapíky. Dalším projevem zlatého řezu je uspořádání semen [[slunečnice]] nebo [[smrk]]ové šišky, ve kterých jsou šupiny rozmístěny jako spirála, nebo točité schody. Toto rozmístění je také velice dobře vidět u [[ananas]]u.
Dalším projevem zlatého řezu v přírodě je logaritmická spirála, která nemění tvar a roste stejně do délky i do šířky. Jejím projevem je růst neživých částí živého tvora. Mohou to být [[vlas]]y, [[nehet|nehty]], [[zobák]]y, [[zub]]y, [[Roh (biologie)|rohy]], [[paroh]]y nebo schránky měkkýšů. Čím více se její zakřivení liší od zakřivení kružnice, tím méně připomíná spirálu. Mírně ohnutý [[slon]]í kel i hustě točená ulita [[plž]]e jsou v tomto ohledu příbuzné. [[Tur]]ovitým kopytníkům, mezi které patří i náš hovězí dobytek a [[ovce]], rostou rohy do spirály. Nebývá to vždy na první pohled zřetelné, neboť obyčejně jsou jen částí jednoho závitu spirály, ale některé jsou přímo ukázkou prostorové logaritmické spirály, např. africký [[kudu]]. Spirálu najdeme v klu [[slon]]a nebo [[zub]]u [[narval]]a. Narval má zubů velmi málo, pouze v horní čelisti. Samci jeden z těchto zubů naroste do obrovských rozměrů. Je to vždy levý zub a na povrchu je spirálovitá struktura. Na lidském těle lze zlatý řez pozorovat tehdy, jestliže se výška postavy (od temene hlavy) dělí vzdáleností pupku od země. Normálně vyvinutá postava dospělého člověka udává číslo 1,618; mohou samozřejmě být i malé odchylky - záleží na přesnosti měření.

Schránka hlavonožce [[Loděnkovití|loděnky]] je ilustrací logaritmické spirály. Nejlépe se o tom přesvědčíme na průřezu ulity. Přepážky, které ji rozdělují na komůrky, svědčí o tom, jak loděnka rostla. <!--Loděnka obývá ve své schránce poslední komůrku. Pokud je jí malá, přistaví hned vedle další, o kousek větší, a nastěhuje se do ní. Komůrka je sice větší než předcházející, ale má přesně ten samý tvar.-->
Logaritmická spirála je příznačná pro neživé části živého organismu ulity plžů. Také [[hmyz]] se ke světlu blíží po logaritmické spirále. Pohybuje se tak, aby světlo viděl stále pod stejným úhlem.<ref>http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka6.html</ref>

<gallery perrow="6">
Soubor:Picea abies cone.jpg|Samičí šiška [[smrk]]u ztepilého
Soubor:Tournesol (4).jpg|Květ [[slunečnice]]
Soubor:Pineapple1.JPG|Plod [[ananas]]u
Soubor:Ab mollusca 05.jpg|Schránka [[plž]]e
Soubor:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|Hlavonožec [[Loděnka|Nautilus]]
Soubor:Narwalschaedel.jpg|Lebka [[narval]]a s dvěma zuby ("kly")
</gallery>

{{viz též|Fibonacciho posloupnost#Význam}}<!--možná tyto kapitoly sjednotit...-->

== Zlatý řez v umění ==
Malíři 1830-1870 [[Barbizonská škola|Barbizonské školy]] kompozici zlatého řezu také uplatňovali:

<gallery perrow="5">
File:A-Normandy-Landscape.jpg|1802–1868 Camille Flers
File:NVD-Forest-1.jpg|1807–1876 Narcisse Virgile Diaz
File:JJV-La fontaine-1.jpg|1808–1893 Jules Jacques Veyrassat
File:CT-Mare-1.jpg|1810–1865 Constant Troyon
File:TR-Krajina-1.jpg|1812–1867 Théodore Rousseau
File:ChEJ-Landherd-1.jpg|1813–1894 Charles Emile Jacque
File:ChFD-Les-sablieres-pres-de-valmondois-1.jpg|1817–1878 Charles Francois Daubigny
File:PDT-Gardienne-de-Vache-pres-d-un-moulin-1.jpg|1829–1900 Paul Desire Trouillebert
File:A-North-Woods-Lake-1867-1.jpg|1836–1897 Homer Dodge Martin
</gallery>
{{Pahýl část}}

Podobně jako v umění, pracuje se hojně se zlatým řezem i v dalších disciplínách, kde je důležité estetické působení na diváka či pozorovatele - např. v architektuře, designu, fotografii atd. Druhý hlavní princip, využívaný často v duchu klasické estetiky, je princip symetrie.

== Vlastnosti ==
[[Soubor:Golden ratio - Pentagram.svg|náhled|Zlatý řez v pětiúhelníku. AB/(BB′=BC) = AC/(CC′=AB) = AD/AC = φ]]
[[Soubor:Gravure d'Agrippa de Nettesheim.jpg|náhled|[[Pentagram]]]]

Zlatý řez má mnoho zajímavých vlastností. Například se vyskytuje v pravidelném [[pětiúhelník]]u nebo je to [[limita]] poměru mezi dvěma následujícími členy [[Fibonacciho posloupnost]]i. [[Pentagram]] (''penta'' - pět, ''grame'' - čára) je pěticípá hvězda nakreslená jedním tahem, která má sice chybu na kráse, neboť ji křižují čáry a oddělují ramena od středu, ale vzdálenosti mezi vrcholy jsou v poměru zlatého řezu. Pentagram měli [[Řecko|Řekové]] ve velké úctě, neboť názorně představoval to, co neuměli vyjádřit číselným poměrem. Zákonitost, která se v pentagramu ukrývala, z něj učinila tajemný symbol dokonalosti vesmíru.<ref>http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka8.html</ref>

Obdélník, jehož poměr stran odpovídá zlatému řezu, lze rozdělit na čtverec a obdélník, jehož poměr stran opět odpovídá zlatému řezu.

<math>\varphi=\varphi^2 - 1</math>

<math>\varphi=\frac{1}{\varphi-1}</math>

<math>\varphi=\sqrt{\varphi + 1}</math>

== Výpočet ==
[[Soubor:Image-Golden ratio line.png|200px|náhled|Poměr a:b je stejný jako poměr (a+b):a]]
Pokud části úsečky označíme jako <math>a</math> a <math>b</math>, musí platit
:<math>\frac{b}{a}=\frac{a}{a+b}</math>, přičemž <math>\varphi = \frac{a}{b}</math>.
To znamená, že <math>a = b \varphi</math>, což po dosazení do první rovnice dává
:<math>\frac{b}{b \varphi}=\frac{b \varphi}{b \varphi + b}</math>.
Úpravou této rovnice se získá [[kvadratická rovnice]]
:<math>\varphi^2 - \varphi - 1 = 0</math>,
jejímž kladným kořenem (záporný zde nemá smysl) je
:<math>\varphi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}</math>.

=== Převrácený poměr ===
Převrácená hodnota zlatého řezu je rovna také výrazu <math>\varphi-1</math>, jinými slovy, u čísla <math>\varphi</math> i <math>\frac1\varphi</math> je shodná část za desetinnou čárkou. Tato unikátní vlastnost vede na stejnou kvadratickou rovnici jako výše, takže z ní lze hodnotu zlatého řezu rovněž vypočítat.
:<math>\frac1\varphi = \varphi - 1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}</math>

=== Zápis zlatého řezu v desítkové soustavě ===

 1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
   2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374
   8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
   7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
   0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
   1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
   8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
   2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
   3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053
   1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
   1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
   7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764
   8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115
   8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
   7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
   1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
   3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093
   9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
   7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149
   9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
   1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089
   ...

=== Další vzorce ===

:<math>\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}}\,.</math>

 1.  1
 2.  1,4142135623731
 3.  1,5537739740300
 4.  1,5980531824786 
 5.  1,6118477541253
 6.  1,6161212065081
 7.  1,6174427985274
 8.  1,6178512906967
 9.  1,6179775309347
 10. 1,6180165422315
 11. 1,6180285974702
 12. 1,6180323227520
 13. 1,6180334739282
 14. 1,6180338296612
 15. 1,6180339395888
 16. 1,6180339735583 
 17. 1,6180339840554
 18. 1,6180339872992
 19. 1,6180339883016
 20. 1,6180339886114
 21. 1,6180339887071
 22. 1,6180339887367
 23. 1,6180339887458
 24. 1,6180339887486
 25. 1,6180339887495
 26. 1,6180339887498

Číslo <math>\varphi</math> lze vyjádřit pomocí [[řetězový zlomek|řetězového zlomku]]:
: <math>\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \ldots}}}}}</math>

Pokud vezmeme libovolné číslo <math>a_0 > 0</math>, pak řada <math>a_{i+1} = \frac{1}{a_{i}}+1</math> konverguje ke zlatému řezu.

 i  abs err  Pi           Qi           ai
 -- -------- ----------   ----------   ------------------
  0  6.2E-01          1 /          1 = 1.000000000000000
  1 -3.8E-01          2 /          1 = 2.000000000000000
  2  1.2E-01          3 /          2 = 1.500000000000000
  3 -4.9E-02          5 /          3 = 1.666666666666667
  4  1.8E-02          8 /          5 = 1.600000000000000
  5 -7.0E-03         13 /          8 = 1.625000000000000
  6  2.6E-03         21 /         13 = 1.615384615384615
  7 -1.0E-03         34 /         21 = 1.619047619047619
  8  3.9E-04         55 /         34 = 1.617647058823529
  9 -1.5E-04         89 /         55 = 1.618181818181818
 10  5.6E-05        144 /         89 = 1.617977528089888
 11 -2.2E-05        233 /        144 = 1.618055555555556
 12  8.2E-06        377 /        233 = 1.618025751072961
 13 -3.1E-06        610 /        377 = 1.618037135278515
 14  1.2E-06        987 /        610 = 1.618032786885246
 15 -4.6E-07       1597 /        987 = 1.618034447821682
 16  1.8E-07       2584 /       1597 = 1.618033813400125
 17 -6.7E-08       4181 /       2584 = 1.618034055727554
 18  2.6E-08       6765 /       4181 = 1.618033963166706
 19 -9.8E-09      10946 /       6765 = 1.618033998521803
 20  3.7E-09      17711 /      10946 = 1.618033985017358
 21 -1.4E-09      28657 /      17711 = 1.618033990175597
 22  5.4E-10      46368 /      28657 = 1.618033988205325
 23 -2.1E-10      75025 /      46368 = 1.618033988957902
 24  7.9E-11     121393 /      75025 = 1.618033988670443
 25 -3.0E-11     196418 /     121393 = 1.618033988780243
 26  1.2E-11     317811 /     196418 = 1.618033988738303
 27 -4.4E-12     514229 /     317811 = 1.618033988754322
 28  1.7E-12     832040 /     514229 = 1.618033988748204
 29 -6.5E-13    1346269 /     832040 = 1.618033988750541
 30  2.5E-13    2178309 /    1346269 = 1.618033988749648

Pozn.: P<sub>i</sub> = P<sub>i-1</sub> + Q<sub>i-1</sub>; a<sub>i</sub> = P<sub>i</sub> / Q<sub>i</sub>; viz též [[Fibonacciho posloupnost]].

== Konstrukce zlatého řezu ==

[[Soubor:Golden ratio.svg|náhled|upright|Konstrukce zlatého řezu]]

# Bodem B úsečky AB o délce ''a'' sestrojíme kolmici BC o délce ''½ a''.
# Spojíme bod A s bodem C.
# Sestrojíme kružnici se středem C a poloměrem ''½ a''.
# Průnikem kružnice ''a'' úsečky AC je bod D.
# Naneseme úsečku AD na úsečku AB z bodu A.
# Bod E, který dostaneme, rozdělí úsečku AB zlatým řezem.

=== Alternativní konstrukce ===
# Mějme čtverec ABCD a bod A', který stranu AB rozděluje na polovinu. Uvažujme i polopřímku AB.
# Z bodu A' sestrojíme kružnici tak, aby procházela bodem C. Kružnice nám protne polopřímku v bodě E.
# Vzdálenosti AE a AD jsou v poměru zlatého řezu.
# Jako bod F si označíme koncový bod vektoru <u>AD</u> aplikovaného z bodu E.
# Obdélník AEFD má strany v poměru zlatého řezu, stejně jako obdélník BEFC.

== Literatura ==
* [[Mario Livio|LIVIO, Mario]]. ''Zlatý řez: příběh fí, nejpodivuhodnějšího čísla na světě''. Praha : Argo a Dokořán, 2006.

== Odkazy ==

=== Reference ===
<references />

=== Související články ===
* [[Zlatý úhel]]
* [[Fraktál]]
* [[Historie kompozice obrazů]]
* [[Zlatý prostorový úhel]]
* [[Section d'Or]] - umělecká skupina

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* {{TDKIV}}
* {{Wikiverzita|kurs=Zlatý řez}}
* [http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka.html Diplomová práce na téma Zlatý řez]
* [http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html Zlatý řez v encyklopedii MathWorld] {{en}}
* [[oeis:A001622|Číslice zlatého řezu]], oeis.org, [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]
* [http://www.sprword.com/videos/fibonacci/ Fibonacci and the Golden Mean]
* [http://www.mff.cuni.cz/fakulta/mfp/download/books/gergelitsova-holan-zlaty-rez_en.pdf Šárka GERGELITSOVÁ, Tomáš HOLAN: The Golden Ratio Determined Using a Ruler and Compass, Matfyzpress, Praha 2015]

{{Kompoziční principy ve fotografii}}
{{Portály|Umění|Fotografie}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Algebraická čísla]]
[[Kategorie:Matematické konstanty]]
[[Kategorie:Obrazové kompozice]]
[[Kategorie:Výtvarné umění]]
[[Kategorie:Iracionální čísla]]